Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 0; 5), B(0; -4; 0), C(0; m; 0) và D(3; 0; 0), biết số thực m ≠ 0.
a) Phương trình mặt phẳng (ABD) là \( \frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{z}{5} - 1 = 0 \).
b) Góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (AOD) là 57,2° (làm tròn đến hàng phần chục).
c) Góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (ABD) là 64° (làm tròn đến hàng đơn vị).
a) \(\overrightarrow{AB}=\left(0;4;-5\right)\)
\(\overrightarrow{AD}=\left(3;0;-5\right)\)
\(\overrightarrow{n\left(ABD\right)}=\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\right]=\left(20;-15;12\right)\)
\(\Rightarrow\left(ABD\right):20x-15y+12z+D=0\)
\(A\left(0;0;5\right)\in\left(ABD\right)\Rightarrow20.0-15.0+12.5+D=0\Rightarrow D=-60\)
\(\Rightarrow\left(ABD\right):20x-15y+12z-60=0\) hay \(\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{5}-1=0\Rightarrow Sai\)
b) \(\overrightarrow{OA}=\left(0;0;5\right)\)
\(\overrightarrow{OD}=\left(3;0;0\right)\)
\(\overrightarrow{n\left(OAD\right)}=\left[\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OD}\right]=\left(0;15;0\right)\)
\(cos\left(\widehat{\left(ABD\right);\left(OAD\right)}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{n\left(ABD\right)}.\overrightarrow{n\left(OAD\right)}\right|}{\left|\overrightarrow{n\left(ABD\right)}\right|.\left|\overrightarrow{n\left(OAD\right)}\right|}=\dfrac{\left|20.0+\left(-15\right).15+12.0\right|}{\sqrt{20^2+\left(-15\right)^2+12^2}.\sqrt{15^2}}=\dfrac{225}{15\sqrt{769}}=\dfrac{15}{\sqrt{769}}\)
\(\Rightarrow\left(\widehat{\left(ABD\right);\left(OAD\right)}\right)=arcos\left(\dfrac{15}{\sqrt{769}}\right)\approx57,2^o\RightarrowĐúng\)
c) \(sin\left(\widehat{OA;\left(ABD\right)}\right)=\dfrac{\left|\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{n\left(ABD\right)}\right|}{\left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{n\left(ABD\right)}\right|}=\dfrac{\left|0.20+0.\left(-15\right)+5.12\right|}{\sqrt{20^2+\left(-15\right)^2+12^2}.\sqrt{5^2}}=\dfrac{12}{\sqrt{769}}\)
\(\Rightarrow\left(\widehat{OA;\left(ABD\right)}\right)=arcsin\left(\dfrac{12}{\sqrt{769}}\right)\approx26^o\Rightarrow Sai\)
