Question

Bài 7. Cho \( \Delta ABC \) có ba góc nhọn \( (AB < AC) \) nội tiếp đường tròn \( (O; R) \). Ba đường cao \( AD, BE, CF \) của \( \Delta ABC \) cắt nhau tại \( H \). Gọi \( M, N \) lần lượt là giao điểm của \( (O) \) với các tia \( BE, AD \) ( \( M \) khác \( B \), \( N \) khác \( A \).

a) Chứng minh: Tứ giác \( ABDE \) nội tiếp và xác định tâm \( I \) của đường tròn này, từ đó suy ra \( DE \parallel MN \).

b) Kẻ đường kính \( CK \) của \( (O) \). Chứng minh: Tứ giác \( AKBH \) là hình bình hành và suy ra 3 điểm \( H, I, K \) thẳng hàng.

c) Trong trường hợp \( \widehat{BCA} = 60^\circ \). Chứng minh: \( DE = \frac{1}{2} AB \) và tính diện tích viên phân giới hạn bởi cung nhỏ \( DE \) và dây cung \( DE \) của \( (I) \) theo \( R \).

Answer 1

a: Xét tứ giác ABDE có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

nên ABDE là tứ giác nội tiếp  đường tròn đường kính AB

Tâm I là trung điểm của AB

ABDE là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ABE}=\widehat{ABM}\)

Xét (O) có \(\widehat{ABM};\widehat{ANM}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung AM

=>\(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\)

=>\(\widehat{ADE}=\widehat{ANM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên DE//MN

b: Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

CK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại A

=>AC\(\perp\)AK

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//AK

Xét (O) có

ΔKBC nội tiếp

CK là đường kính

Do đó: ΔKBC vuông tại B

=>BK\(\perp\)BC

mà AH\(\perp\)BC

nên BK//AH

Xét tứ giác AHBK có 

AH//BK

AK//BH

Do đó: AHBK là hình bình hành

=>AB cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của AB

nên I là trung điểm của HK

=>H,I,K thẳng hàng

c: Xét ΔCEB vuông tại E có \(cosECB=\dfrac{CE}{CB}\)

=>\(\dfrac{CE}{CB}=cos60=\dfrac{1}{2}\)

Xét ΔCED và ΔCBA có

\(\widehat{CED}=\widehat{CBA}\left(=180^0-\widehat{AED}\right)\)

góc ECD chung

Do đó: ΔCED~ΔCBA

=>\(\dfrac{ED}{BA}=\dfrac{CE}{CB}\)

=>\(\dfrac{ED}{BA}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(ED=\dfrac{1}{2}AB\)