a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>AC⊥BE tại C
=>ΔACE vuông tại C
Xét (O) có
MA,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MC
=>ΔMAC cân tại M
Ta có: \(\hat{MAC}+\hat{MEC}=90^0\) (ΔACE vuông tại C)
\(\hat{MCA}+\hat{MCE}=\hat{ACE}=90^0\)
mà \(\hat{MAC}=\hat{MCA}\) (ΔMAC cân tại M)
nên \(\hat{MEC}=\hat{MCE}\)
=>ME=MC
mà MA=MC
nên MA=ME
=>M là trung điểm của AE
b: Ta có: MA=MC
=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)
ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AC
=>MO⊥AC tại I và I là trung điểm của AC
Ta có: CD⊥AB
AE⊥BA
Do đó: CD//EA
Xét ΔBMA có DK//AM
nên \(\frac{DK}{AM}=\frac{BK}{BM}\left(3\right)\)
Xét ΔBME có CK//ME
nên \(\frac{CK}{ME}=\frac{BK}{BM}\left(4\right)\)
mà MA=ME(5)
nên từ (3),(4),(5) suy ra DK=CK
=>K là trung điểm của CD
Xét ΔCAD có
I,K lần lượt là trung điểm của CA,CD
=>IK là đường trung bình của ΔCAD
=>IK//AD
=>IK//AB
c: OM=AB
mà AB=2R
nên OM=2R
Xét ΔMAO vuông tại A có \(\cos AOM=\frac{OA}{OM}=\frac12\)
nên \(\hat{AOM}=60^0\)
Ta có: \(\hat{AOM}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(\hat{MOB}=180^0-60^0=120^0\)
Xét ΔAIO vuông tại I có \(cosAOI=\frac{OI}{OA}\)
=>\(\frac{OI}{R}=cos60=\frac12\)
=>OI=0,5R
Ta có: MI+IO=MO
=>MI+0,5R=2R
=>MI=1,5R
Diện tích tam giác MOB là:
\(S_{MOB}=\frac12\cdot OM\cdot OB\cdot\sin MOB=\frac12\cdot R\cdot2R\cdot\sin120=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)
Xét ΔMOB có IK//OB
nên ΔMIK~ΔMOB
=>\(\frac{S_{MIK}}{S_{MOB}}=\left(\frac{MI}{MO}\right)^2=\left(\frac{1.5R}{2R}\right)^2=\frac{9}{16}\)
=>\(S_{MIK}=\frac{9}{16}\cdot\frac{R^2\sqrt3}{2}=\frac{9R^2\cdot\sqrt3}{32}\)
