Theo đề bài ta có :
\(A\left(0;3;4\right);C\left(00;1\right);M\left(00;m\right)\)
\(AM=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(0-3\right)^2+\left(m-4\right)^2}=\sqrt{\left(m-4\right)^2+9}\)
\(MC=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(0-0\right)^2+\left(1-m\right)^2}=\left|1-m\right|\)
Tổng độ dài đường đi là :
\(L=AM+MC=\sqrt{\left(m-4\right)^2+9}+\left|1-m\right|\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}L=f\left(m\right)=\sqrt{\left(m-4\right)^2+9}+1-m\left(m\le1\right)\\L=f\left(m\right)=\sqrt{\left(m-4\right)^2+9}+m-1\left(m>1\right)\end{matrix}\right.\)
Độ dài đường đi ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của một điểm đối xứng của \(A\) lên trục \(Oz\) là \(A'\left(0;3;-4\right)\)
\(\Rightarrow L_{min}=f_{min}\left(m\right)=A'M+MC=\sqrt{\left(m-4\right)^2+9}+\left|1-m\right|\)
Chọn \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(A'C\) với trục \(Oz\) thì \(A';M;C\) sẽ thẳng hàng
\(\overrightarrow{A'C}=\left(0;-3;4\right)\)
\(\Rightarrow PTCT\left(A'C\right):\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-3t\\z=1+4t\end{matrix}\right.\)
\(M\left(0;0;m\right)\in\left(A'C\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\z_m=m=1+4.0=1\end{matrix}\right.\)
Vậy với \(m=1\) thì \(L_{min}=f_{min}\left(m\right)=3\sqrt{2}\)
\(m^2+670m+5=1^2+670.1+5=676\) thỏa mãn đề bài
(Nếu dùng phương pháo đạo hàm ta cũng có kết quả như trên)
