Question

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB > AC \). Vẽ đường tròn tâm \( O \) đường kính \( AB \) và dây cung \( AD \) vuông góc với \( OC \). Gọi \( K \) là chân đường vuông góc hạ từ \( D \) đến \( AB \) và \( E \) là giao điểm của \( DK \) và \( BC \).

a) Chứng minh \( BD//OC \) và \( CD \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \).

b) Đoạn thẳng \( BC \) cắt đường tròn \( (O) \) tại \( M (M \neq B) \). Chứng minh \( CA^2 = CM \cdot CB \) và \( E \) là trung điểm của \( DK \).

c) Trong trường hợp \( KD = 5 \, \text{cm} \) và \( \angle ABC = 30^\circ \). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi cung nhỏ \( DM \) và hai bán kính \( OM, OD \) (độ dài cạnh làm tròn đến hàng phần trăm, góc làm tròn đến độ, diện tích cần tìm làm tròn đến hàng đơn vị).

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>BD\(\perp\)AD

mà AD\(\perp\)OC

nên BD//OC

ΔOAD cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOD

Xét ΔOAC và ΔODC có

OA=OD

\(\widehat{AOC}=\widehat{DOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔODC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{ODC}\)

=>\(\widehat{ODC}=90^0\)

=>CD là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

=>AM\(\perp\)BC tại M

Xét ΔCAB vuông tại A có AM là đường cao

nên \(CM\cdot CB=CA^2\)