Question

Câu 2: Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \((P): 2x - y + 2z - 8 = 0\).

a) Điểm \(M(2; -1; 2)\) thuộc mặt phẳng \((P)\).

b) Tọa độ một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \(\overrightarrow{n} = (2; -1; 2)\).

c) Mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(A(3; 2; -1)\) và song song với mặt phẳng \((P)\) có phương trình là \(2x - y + 2z - 2 = 0\).

d) Gọi \((R)\) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \((P)\) và mặt phẳng \((Oxy)\), đồng thời cách điểm \(B(-3; 1; 5)\) một khoảng bằng \(\sqrt{5}\). Giả sử \((R)\) có phương trình \(ax + by + d = 0, (a > 0, d < 0), a, b \in \mathbb{Z}, (a, b) = 1\). Giá trị của biểu thức \(b + d = -4\).

Answer 1

a) Thay \(M\left(2;-1;2\right)\) vào \(\left(P\right)\Rightarrow2.2+1+2.2-8=1\ne0\Rightarrow Sai\)

b) \(\overrightarrow{n}=\left(2;-1;2\right)\RightarrowĐúng\)

c) \(\left(Q\right)//\left(P\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_Q}=\left(2;-1;2\right)\)

\(\Rightarrow\left(Q\right):2x-y+2z+D=0\)

\(A\left(3;2;-1\right)\in\left(Q\right)\Rightarrow2.3-2+2.\left(-1\right)+D=0\Rightarrow D=-2\)

\(\Rightarrow\left(Q\right):2x-y+2z-2=0\RightarrowĐúng\)

d) \(\left(P\right):2x-y+2z-8=0\Rightarrow\overrightarrow{n_P}=\left(2;-1;2\right)\)

\(\left(Oxy\right):z=0\Rightarrow\overrightarrow{n_{Oxy}}=\left(0;0;1\right)\)

\(\left(R\right):ax+by+d=0\Rightarrow\overrightarrow{n_R}=\left(a;b;0\right)\)

\(\left(R\right)\perp\left(P\right)\&\left(Oxy\right)\Rightarrow\overrightarrow{n_R}.\overrightarrow{n_P}=0\)

\(\Rightarrow2a-b+0=0\Rightarrow2a=b\)

mà \(\left(a;b\right)=1\Rightarrow a=1;b=2\)

\(\Rightarrow\left(R\right):x+2y+d=0\)

\(d\left(B;\left(R\right)\right)=\dfrac{\left|-3+2.1+0.5+d\right|}{\sqrt{1^2+2^2+0^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|d-1\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d-1=5\\d-1=-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}d=6>0\left(loại\right)\\d=-4< 0\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow d=-4\)

\(\Rightarrow b+d=2-4=-2\Rightarrow Sai\)