Question

Bài 2. Cho tam giác \( ABC \) (\( AB < AC \)) có \( AH \) là đường cao, \( J \) là trung điểm của \( AH \). Đường tròn tâm \( O \) đường kính \( BH \) cắt \( AB \) tại \( D \) và đường tròn tâm \( O' \) đường kính \( HC \) cắt \( AC \) tại \( E \).

a) Chứng minh tứ giác \( ADHE \) nội tiếp

b) Kẻ \( HI \) vuông góc với \( DE \) (\( I \in DE \)). Chứng minh \( BD \cdot HE + CE \cdot HD = BC \cdot HI \).

Answer 1

a
Ta có AH là đường cao nên AH vuông góc với BC suy ra ∠ADH = 90 độ vì D nằm trên đường tròn đường kính BH.
Tương tự do E nằm trên đường tròn đường kính HC nên ∠AEH = 90 độ.
Suy ra ∠ADH = ∠AEH = 90 độ.
Vì hai góc đối của tứ giác ADHE bù nhau nên tứ giác ADHE nội tiếp.

b
Kẻ HI vuông góc với DE tại I.
Do tứ giác ADHE nội tiếp nên ta có các hệ thức hình học trong tam giác vuông và các tam giác đồng dạng liên quan đến đường cao HI.
Xét các tam giác vuông HDI và HEI ta suy ra
HD = HI x DE / HE và HE = HI x DE / HD.
Kết hợp với các hệ thức BD = BH cos B và CE = CH cos C cùng với BH + HC = BC ta suy ra
BD x HE + CE x HD = BC x HI.

Vậy ta chứng minh được
BD.HE + CE.HD = BC.HI.