Bài 7. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH; gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và tại B cắt nhau tại M. Nối CM cắt AH tại I. Nối OM cắt AB tại J.
a) Chứng minh các tam giác MOB và CAH đồng dạng.
b) Chứng minh I là trung điểm của AH.
c) Cho BC = 2R và OM = x (R > 0; x > 0). Tính AB, AH theo R và x.
a) Do MA và MB lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn O tại A và B nên MA vuông góc với OA, MB vuông góc với OB, suy ra góc MOB bằng góc CAH và góc MBO bằng góc CHA, từ đó suy ra tam giác MOB đồng dạng với tam giác CAH.
b) Từ sự đồng dạng của hai tam giác MOB và CAH suy ra AI bằng IH nên điểm I là trung điểm của AH.
c) Vì tam giác ABC vuông tại A và BC bằng 2R nên AH bằng AB nhân AC chia cho BC, kết hợp với hệ thức giữa các cạnh trong tam giác vuông và điều kiện OM bằng x suy ra AB bằng hai căn bậc hai của R bình phương trừ x bình phương và AH bằng hai x.
