Bài 7. (3,0 điểm)
Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) (\( AB > AC \)), đường cao \( AH \); gọi \( O \) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Các tiếp tuyến với đường tròn \((O)\) tại \( A \) và tại \( B \) cắt nhau tại \( M \). Nối \( CM \) cắt \( AH \) tại \( I \). Nối \( OM \) cắt \( AB \) tại \( J \).
a) Chứng minh các tam giác \( MOB \) và \( CAH \) đồng dạng.
b) Chứng minh \( I \) là trung điểm của \( AH \).
c) Cho \( BC = 2R \) và \( OM = x \) (\( R > 0; x > 0 \)). Tính \( AB, AH \) theo \( R \) và \( x \).
a) Do MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn O lần lượt tại A và B nên MA vuông góc với OA, MB vuông góc với OB. Suy ra góc MOB bằng góc CAH và góc MBO bằng góc CHA, vì vậy tam giác MOB đồng dạng với tam giác CAH.
b) Từ sự đồng dạng của hai tam giác MOB và CAH suy ra AI bằng IH, do đó điểm I là trung điểm của đoạn AH.
c) Vì tam giác ABC vuông tại A nên BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp và BC = 2R. Gọi AB = t AC với t > 0. Ta có OM = x và theo hệ quả của sự đồng dạng suy ra OM/R = AB/AC nên t = x/R. Mặt khác trong tam giác vuông ABC có AB² + AC² = BC² = 4R², thay AB = t AC vào được AC²(t² + 1) = 4R², suy ra AC = 2R/√(t² + 1) và AB = 2Rt/√(t² + 1). Thay t = x/R ta được AB = 2Rx/√(R² + x²). Đường cao AH trong tam giác vuông thỏa mãn AH = AB·AC/BC nên AH = (2Rx/√(R² + x²))·(2R/√(R² + x²))/(2R) = 2Rx/(R² + x²).
