Question

Bài 7 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa đường tròn (O), lấy hai điểm A và D (theo thứ tự B, A, D, C). Tia BA và CD cắt nhau tại S, đoạn thẳng AC cắt BD tại H. Gọi I là trung điểm của SH.
a) Chứng minh tam giác ABC và tam giác BDC vuông. Chứng minh tứ giác SAHD nội tiếp.
b) Tia SH cắt BC tại M. DM cắt HC tại K. Chứng minh: \( \widehat{IAH} = \widehat{KDC} \).
c) Trong trường hợp \( \widehat{BSC} = 60^0 \) và BC = 6cm. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi Cung AD và dây AD.

Answer 1

 

a: Xét (O) có

ΔBAC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBAC vuông tại A

=>CA\(\perp\)SB tại A

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD\(\perp\)SC tại D

Xét tứ giác SAHD có \(\widehat{SAH}+\widehat{SDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SH

=>SAHD nội tiếp (I)

b: Xét ΔSBC có

BD,CA là các đường cao

BD cắt CA tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔSBC

=>SH\(\perp\)BC tại M

Xét tứ giác MHDC có \(\widehat{HMC}+\widehat{HDC}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{MDC}=\widehat{MHC}\)

=>\(\widehat{KDC}=\widehat{MHC}\)
mà \(\widehat{MHC}=\widehat{IHA}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{IAH}=\widehat{IHA}\)(ΔIAH cân tại I)

nên \(\widehat{KDC}=\widehat{IAH}\)

c: Xét (O) có \(\widehat{BSC}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung BC và AD

=>\(\widehat{BSC}=\dfrac{1}{2}\left(sđ\stackrel\frown{BC}-sđ\stackrel\frown{AD}\right)\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(180^0-sđ\stackrel\frown{AD}\right)=60^0\)

=>\(180^0-\widehat{AOD}=60^0:\dfrac{1}{2}=120^0\)

=>\(\widehat{AOD}=60^0\)

BC=6cm

=>OB=OC=R=6/2=3(cm)

Diện tích tam giác AOD là:

\(S_{AOD}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OD\cdot sinAOD=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot3\cdot sin60=\dfrac{9}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\left(cm^2\right)\)

Diện tích hình quạt tròn OAD là:

\(S_{q\left(OAD\right)}=\dfrac{\Omega\cdot R^2\cdot n}{360}=\dfrac{\Omega\cdot3^2\cdot60}{360}=\dfrac{3\Omega}{2}\)

Diện tích hình viên phân tạo bởi dây cung AD và cung nhỏ AD là:

\(S_{vp\left(OAD\right)}=S_{q\left(OAD\right)}-S_{OAD}=\dfrac{3\Omega}{2}-\dfrac{9\sqrt{3}}{4}\)