Câu 17: (2,5 điểm) 1. Cho đường tròn \( (O, R) \), một đường thẳng \( d \) cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt, từ một điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( d \) nằm bên ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến \( MC, MD \) tới đường tròn \( (C, D \) là tiếp điểm\).
a) Chứng minh bốn điểm \( M, C, O, D \) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh \( OM \perp CD \). Đoạn thẳng \( OM \) cắt đường tròn tại \( I \), chứng minh \( I \) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( MCD \).
a: Xét tứ giác MCOD có \(\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MCOD là tứ giác nội tiếp
=>M,C,O,D cùng thuộc một đường tròn
b:
Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MC=MD
=>M nằm trên đường trung trực của CD(1)
Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của CD
=>OM\(\perp\)CD
Ta có: \(\widehat{MCI}+\widehat{OCI}=\widehat{MCO}=90^0\)
\(\widehat{DCI}+\widehat{OIC}=90^0\)(OM\(\perp\)CD)
mà \(\widehat{OCI}=\widehat{OIC}\)(ΔOCI cân tại O)
nên \(\widehat{MCI}=\widehat{DCI}\)
=>CI là phân giác của góc MCD
Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc CMD
Xét ΔCMD có
MO,CI là các đường phân giác
MO cắt CI tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔCMD
