Trong một nhiệm vụ trinh sát quân sự, một trạm radar mặt đất đang theo dõi một máy bay chiến đấu trên bầu trời. Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị km), cho điểm \(A\) là vị trí của một máy bay không người lái (UAV) trinh sát có tọa độ \(A(1; 2; 3)\) và điểm \(B\) là vị trí của trạm radar phòng không được đặt trên ngọn núi cao 3 km so với mặt đất, có tọa độ \(B(0; 0; 3)\). Trạm radar này được lắp đặt để tối ưu hóa khả năng giám sát không gian ba chiều và phát hiện UAV từ xa. Bây giờ, quân đội cần triển khai một máy bay tiêm kích \(M\) từ trạm radar để chặn UAV. Máy bay tiêm kích \(M\) được yêu cầu cất cánh theo một đường bay sao cho góc giữa đường bay từ \(B\) đến \(M\) và phương thẳng đứng (trục \(Oz\)) là \(30^\circ\). Hãy tính toán khoảng cách ngắn nhất từ máy bay tiêm kích \(M\) đến máy bay không người lái (UAV) trinh sát (làm tròn đến hàng phần trăm).
Sao đọc mãi đề bài mình vẫn chưa định hình được máy bay M xuất phát từ điểm nào ta?
Gọi \(M\left(x;y;z\right)\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\left(x;y;z-3\right)\)
\(cos\left(\widehat{\overrightarrow{BM};\overrightarrow{Oz}}\right)=cos30^o=\dfrac{\left|z-3\right|}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-3\right)^2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(z-3\right)^2}{x^2+y^2+\left(z-3\right)^2}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow3\left[x^2+y^2+\left(z-3\right)^2\right]=4\left(z-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2=\left(z-3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow z-3=\pm\sqrt{3x^2+3y^2}\left(1\right)\)
\(AM=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow AM=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(\sqrt{3x^2+3y^2}\right)^2}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+3x^2+3y^2}\)
\(\Leftrightarrow AM=\sqrt{x^2-2x+1+y^2-4y+4+3x^2+3y^2}\)
\(\Leftrightarrow AM=\sqrt{4x^2-2x+4y^2-4y+5}\left(2\right)\)
Đặt \(f\left(x;y\right)=4x^2-2x+4y^2-4y+5\)
\(f'_x=8x-2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)
\(f'_y=8y-4=0\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) Điểm dừng \(M\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};z\right)\)
\(\left(1\right)\Rightarrow z=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{3}+3\Rightarrow M\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}+3\right)\)
\(f''_{xx}=8;f''_{yy}=8;f''_{xy}=0\)
Ma trận Hessian:\(H=\left[\begin{matrix}8&0\\0&8\end{matrix}\right]\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}H_1=8>0\\H_2=64-0=64>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2};\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}+3\right)\) là điểm cực tiểu của \(f\left(x;y\right)\)
\(\left(2\right)\Rightarrow AM\left(min\right)=\sqrt{4\left(\dfrac{1}{4}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{4}\right)+4\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+5}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}\approx1,94\left(km\right)\)
Vậy \(AM=1,94\left(km\right)\) thỏa mãn đề bài
À, tại có đoạn nó ghu "góc đường bay từ B đến M..." nên cứ nghĩ là B ko trùng M
Thay vì ghi khó hiểu như trên, người ta ghi đề là "máy bay tiêm kích xuất phát từ B theo 1 đường thẳng hợp với phương trục Oz 1 góc 30 độ" có phải đỡ rối não ko.
