Question

The text in the image contains mathematical expressions. Here is the text converted into LaTeX format:

"Given $\Delta ABC$ with $G$ as the centroid, any line passing through $G$ intersects the edges $AB$, $AC$ at $P$, $Q$. Prove that $AP + AQ = 3AP + AQ = 3$."

Answer 1

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Một đường thẳng bất kì đi qua G cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh AB/AP + AC/AQ = 3.

Vì G là trọng tâm nên G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 kể từ đỉnh. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Khi đó G thuộc các trung tuyến BM và CN.

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí Menelaus cho đường thẳng PGQ cắt các cạnh AB, AC và đường thẳng qua C song song AB, ta có các tỉ số đoạn thẳng liên hệ với trọng tâm. Từ tính chất trọng tâm suy ra
AP/AB + AQ/AC = 2/3.

Lấy nghịch đảo hai phân số và quy đổi, ta được
AB/AP + AC/AQ = 3.

Vậy điều phải chứng minh được thỏa mãn.