Question

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), cho hình chóp \( S.ABCD \), đáy \( ABCD \) là hình chữ nhật. Biết \( A(0;0;0), D(2;0;0), B(0;4;0), S(0;0;4) \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( SB \) và \( G \) là trọng tâm của tam giác \( SCD \).

a) Lập phương trình mặt phẳng \( (AMC) \)

b) Tính khoảng cách từ điểm \( B \) đến mặt phẳng \( (AMG) \).

Answer 1

a. Ta có tọa độ M là: M(0;2;2)

Ta lại có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\left(0;4;0\right)\)

C có tọa độ: C(2; 4; 0)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(0;2;2\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(2;4;0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{AMC}}=\left(-8;4;-4\right)\left(Bấm.máy\right)\)

\(\Rightarrow\) Mặt phẳng AMC có dạng: \(-2x+y-z+D=0\)

Thay điểm A vào pt mặt phẳng AMC, ta suy ra phương trình mặt phẳng AMC là: \(-2x+y-z=0\)

b. Ta có: \(G\left(\dfrac{0+2+2}{3};\dfrac{0+0+4}{3};\dfrac{4+0+0}{3}\right)=\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

Ta có: \(\overrightarrow{AG}=\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n_{AMG}}=\left(0;-\dfrac{8}{3};\dfrac{8}{3}\right)\)

Tương tự câu a, ta tìm ra pt mặt phẳng AMG là: \(-\dfrac{8}{3}y+\dfrac{8}{3}z=0\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(AMG\right)\right)=\dfrac{\left|-\dfrac{8}{3}.4+\dfrac{8}{3}.0\right|}{\sqrt{\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(\dfrac{8}{3}\right)^2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)