Question

Câu 2: Một đường hầm có mô hình như bên dưới. Biết rằng đường hầm mô hình có chiều dài \(5 \, (\text{cm})\). Khi cắt mô hình này bởi các mặt phẳng vuông góc với đáy của nó, ta được thiết diện là một hình parabol có độ dài đáy gấp đôi chiều cao của parabol. Chiều cao của mỗi thiết diện parabol cho bởi công thức
\[ y = 3 - \frac{2}{5}x \, (\text{cm}) \]
với \(x \, (\text{cm})\) là khoảng cách tính từ lối vào lớn hơn của đường hầm mô hình đến mặt phẳng chứa thiết diện. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Nếu một hình parabol có đáy là \(d\) và chiều cao \(h\) như hình vẽ thì phương trình của parabol là
\[ y = -\frac{4h}{d^2}x^2 + h. \]

b) Diện tích của hình parabol có đáy là \(d\) và chiều cao \(h\) là \(S = \frac{2}{3}dh.\)

c) Thể tích của hầm là \(29,889 \, \text{m}^3\)

d) Để hoàn thành đường hầm từ lúc đào núi đến lúc hoàn thiện đưa vào sử dụng thì giá mỗi mét khối là \(990\) triệu đồng. Khi đó chi phí làm hầm là khoảng \(29,593\) tỷ đồng.

Answer 1

a) Ta có :

Theo đồ thị ta có \(y=0;x=\pm\dfrac{d}{2}\)

Thay vào \(y=-\dfrac{4h}{d^2}x^2+h\)

\(\Rightarrow0=-\dfrac{4h}{d^2}.\dfrac{d^2}{4}+h=0\left(đúng\right)\)

Vậy câu a chọn Đúng

b) Ta có :

\(S=\dfrac{2}{3}dh\)

mà \(h=2d\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{2}{3}.d.2d=\dfrac{4}{3}d^2\left(1\right)\)

Kiểm tra lại \(y=3-\dfrac{2}{5}x\) tại \(x=0\Rightarrow y=d=3\Rightarrow h=2d=6\)

\(S=\dfrac{2}{3}dh=\dfrac{2}{3}.3.6=12=\dfrac{4}{3}.3^2\left(\left(1\right)đúng\right)\)

Tại \(x=5\Rightarrow y=d=1\Rightarrow h=2d=2\)

\(S=\dfrac{2}{3}dh=\dfrac{2}{3}.1.2=\dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}.1^2\left(\left(1\right)đúng\right)\)

Vậy câu b chọn Đúng

c) Thể tích của đường hầm được tính bằng \(V=\int\limits^5_0S\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{2}{3}\int\limits^5_0d\left(x\right)y\left(x\right)dx\)

mà \(y\left(x\right)=3-\dfrac{2}{5}x\Rightarrow d\left(x\right)=2y\left(x\right)=2\left(3-\dfrac{2}{5}x\right)\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{2}{3}\int\limits^5_02\left(3-\dfrac{2}{5}x\right)\left(3-\dfrac{2}{5}x\right)dx\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\int\limits^5_0\left(3-\dfrac{2}{5}x\right)^2dx=\dfrac{4}{3}.\left(-\dfrac{5}{2}\right).\dfrac{1}{3}\left[\left(3-\dfrac{2}{5}x\right)^3\right]^5_0\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{10}{9}\left(3^3-1^3\right)=28,889\left(cm^3\right)\)

Vậy câu c chọn Sai

d) Tổng chi phí :

\(28,889.990.10^6=28600.10^6=28,6\left(tỷ.đồng\right)\)

Vậy câu d chọn Sai