a) Theo đề bài ta có :
\(O(0;0;0);A(0;\dfrac{a}{2};0);B(a;\dfrac{a}{2};0);C(a;-\dfrac{a}{2};0);D(0;-a/2;0);S(0;0;\dfrac{a\sqrt{3}}{2});M(a;0;0);N(\dfrac{a}{2};-\dfrac{a}{2};0)\)\(\Rightarrow\overrightarrow{OS}=\left(0;0;\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right);\overrightarrow{OM}=\left(a;0;0\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(SOM\right)}=\left[\overrightarrow{OS}.\overrightarrow{OM}\right]=\left(0;\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2};0\right)=\left(0;1;0\right)\)
\(\Rightarrow\left(SOM\right):y=0\)
b) \(\overrightarrow{SB}=\left(a;\dfrac{a}{2};-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right);\overrightarrow{SC}=\left(a;-\dfrac{a}{2};-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(SBC\right)}=\left[\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}\right]=\left(-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2};0;-a^2\right)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};0;1\right)\)
\(\Rightarrow\left(SBC\right):\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x-0\right)+0\left(y-0\right)+\left(z-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(SBC\right):\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+z-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=0\)
\(d\left(A;\left(SBC\right)\right)=\left|\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}.0+0-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\dfrac{3}{4}+1}}\right|=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)
c) \(\overrightarrow{SA}=\left(0;\dfrac{a}{2};-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right);\overrightarrow{SC}=\left(a;-\dfrac{a}{2};-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(SAC\right)}=\left[\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\right]=\left(-\dfrac{a^2}{2};-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2};-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)=\left(1;\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left(SAC\right):\left(x-0\right)+\sqrt{3}\left(y-0\right)+\sqrt{3}\left(z-\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(SAC\right):x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z-\dfrac{3a}{2}=0\)
\(\overrightarrow{ON}=\left(\dfrac{a}{2};-\dfrac{a}{2};0\right);\overrightarrow{OQ}=\left(0;-\dfrac{a}{4};\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(ONQ\right)}=\left[\overrightarrow{ON}.\overrightarrow{OQ}\right]=\left(-\dfrac{a^2}{8};-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8};-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}\right)=\left(1;\sqrt{3};\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\left(OQN\right):\left(x-0\right)+\sqrt{3}\left(y-0\right)+\sqrt{3}\left(z-0\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(OQN\right):x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0\)
\(d\left(\left(SAC\right);\left(OQN\right)\right)=\dfrac{\left|0+\dfrac{3a}{2}\right|}{\sqrt{1+3+3}}=\dfrac{3a\sqrt{7}}{14}\)
