Question

Câu 9. Cho hình lập phương \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có độ dài cạnh bằng 1. Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB, BC, C'D', DD'\). Chọn hệ tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ, xác định tọa độ các điểm \(M, N, P, Q\).

a) Lập phương trình mặt phẳng \((A'BC)\).

b) Tính khoảng cách từ điểm \(Q\) đến mặt phẳng \((MNP)\).

c) Tính khoảng giữa hai mặt phẳng \((A'BC)\) và mặt phẳng \((ACD')\).

Answer 1

a) Theo hình ta được :

\(B'\left(0;0;0\right);C'\left(1;0;0\right);D'\left(1;1;0\right);A'\left(0;1;0\right);B\left(0;0;1\right);C\left(1;0;1\right);D\left(1;1;1\right);A\left(0;1;1\right)\)

\(\Rightarrow M\left(0;\dfrac{1}{2};1\right);N\left(\dfrac{1}{2};0;1\right);P\left(1;\dfrac{1}{2};0\right);Q\left(1;1;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\overrightarrow{A'B}=\left(0;-1;1\right);\overrightarrow{A'C}=\left(1;-1;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(A'BC\right)}=\left[\overrightarrow{A'B}.\overrightarrow{A'C}\right]=\left(1;1;0\right)\)

\(\Rightarrow\left(A'BC\right):\left(x-0\right)+\left(y-1\right)+0\left(z-0\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(A'BC\right):x+y-1=0\)

b) \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};1\right);\overrightarrow{MP}=\left(1;0;-1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(MNP\right)}=\left[\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}\right]=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)=\left(1;1;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(MNP\right):\left(x-0\right)+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\left(z-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(MNP\right):x+y+z-\dfrac{3}{2}=0\)

\(d\left(Q;\left(MNP\right)\right)=\dfrac{\left|1+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

c) \(\overrightarrow{AC}=\left(1;-1;0\right);\overrightarrow{AD'}=\left(1;0;-1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n\left(ACD'\right)}=\left[\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD'}\right]=\left(1;1;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(ACD'\right):\left(x-0\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(ACD'\right):x+y+z-2=0\)

\(d\left(\left(A'BC\right);\left(ACD'\right)\right)=\dfrac{\left|-1+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)