Question

Câu 6. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lượt là

\(A(3;2;3), B(6;3;3), C(9;4;2), D\left(6;0;\frac{5}{2}\right)\)

a) Hỏi ba cột bê tông \(A, B\) và \(C\) có được xây thẳng hàng không?

b) Bốn điểm \(A, B, C\) và \(D\) có đồng phẳng không?

c) Tính khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \((ABC)\).

Answer 1

a) \(\overrightarrow{AB}=\left(3;1;0\right);\overrightarrow{AC}=\left(6;2;-1\right)\)

Ta thấy \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{0}{-1}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\) không cùng phương

\(\Rightarrow A;B;C\) không thẳng hàng

b) \(\overrightarrow{AD}=\left(3;-2;-\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}=\left|\begin{matrix}3&1&0\\6&2&-1\\3&-2&-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right|=3\left|\begin{matrix}2&-1\\-2&-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right|-1\left|\begin{matrix}6&-1\\3&-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right|+0\left|\begin{matrix}6&2\\3&-2\end{matrix}\right|=-9\ne0\)

\(\Rightarrow A;B;C;D\) không đồng phẳng

c) \(\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right]=\left(0;3;-1\right)\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{0^2+3^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{10}\)

 \(d\left(D;\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\left|\left[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right].\overrightarrow{AD}\right|}{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right|}=\dfrac{9}{\sqrt{10}}=\dfrac{9\sqrt{10}}{10}\)