Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp Ta có PQ ⟂ AB tại D ⇒ PD ⟂ DK ⇒ ∠PDK = 90° Lại có P, I thuộc (O) và PQ là đường kính ⇒ ∠PIQ = 90° ⇒ ∠PIK = 90° Suy ra ∠PDK = ∠PIK = 90° ⇒ P, D, K, I cùng thuộc một đường tròn Vậy tứ giác PDKI nội tiếp. Chứng minh KB · IQ = BQ · BI Xét hai tam giác △KBQ và △IBQ Ta có ∠KQB = ∠IQB (cùng chắn cung QB) ∠KBQ = ∠IBQ (góc chung) ⇒ △KBQ ∼ △IBQ Suy ra KB / BQ = BI / IQ ⇒ KB · IQ = BQ · BI Chứng minh IK là phân giác tam giác AIB và AC / BC = AK / BK Từ câu 2 suy ra BI / IQ = KB / BQ Mà BQ = BA (bán kính) ⇒ BI / IQ = KB / BA Suy ra IK là đường phân giác trong tam giác AIB Theo định lý phân giác AK / BK = AI / BI Mà A, B, C thẳng hàng và C nằm ngoài đoạn AB ⇒ AI / BI = AC / BC Do đó AC / BC = AK / BK Chứng minh IQ luôn đi qua một điểm cố định A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng luôn qua A, B ⇒ D cố định (trung điểm AB) ⇒ PQ luôn vuông góc AB tại D Từ các câu trên, K là điểm cố định trên AB ⇒ I, Q, K luôn thẳng hàng theo quan hệ hình học đã chứng minh Vậy khi (O) thay đổi nhưng vẫn qua A, B thì đường thẳng IQ luôn đi qua điểm K cố định.
