Question

Bài 2. Cho phương trình \(x^2 - 2mx + m^2 + m - 1 = 0\) với \(m\) là tham số.

a) Giải phương trình với \(m = -3\);

b) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) sao cho

\[x_1^2 + x_2^2 = 3 - x_1 x_2.\]

Answer 1

a) Khi m = -3, phương trình trở thành:

x² - 2.(-3).x + (-3)² - 3 - 1 = 0

x² + 6x + 5 = 0

Do a - b + c = 1 - 6 + 5 = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm:

x₁ = -1; x₂ = -c : a = -5 : 1 = -5

Vậy S = {-5; -1}

b) ∆' = (-m)² - (m² + m - 1)

= m² - m² - m + 1

= 1 - m

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì ∆' > 0

1 - m > 0

m < 1

Theo định lí Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = 2m

x₁x₂ = m² + m - 1

Ta có:

x₁² + x₂² = 3 - x₁x₂

(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ - 3 + x₁x₂ = 0

(x₁ + x₂)² - x₁x₂ - 3 = 0

(2m)² - (m² + m - 1) - 3 = 0

4m² - m² - m + 1 - 3 = 0

3m² - m - 2 = 0 (*)

Do a + b + c = 3 + (-1) + (-2) = 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm:

m = 1 (loại)

Vậy m = -2/3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài