Question

Bài 1: Cho tam giác \( ABC \) nhọn (\( AB < AC \)) có đường cao \( AD \) và đường phân giác trong \( AO \) (\( D, O \) thuộc cạnh \( BC \)). Kẻ \( OM \perp AB \) tại \( M \), \( ON \perp AC \) tại \( N \).

1) (1 điểm) Chứng minh bốn điểm \( O, M, D, N \) cùng nằm trên một đường tròn.

2) (1 điểm) Chứng minh: \( \widehat{BDM} = \widehat{ODN} \)

3) (0.25 điểm) Qua \( O \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \) cắt \( MN \) tại \( I \), \( AI \) cắt \( BC \) tại \( K \). Chứng minh \( K \) là trung điểm của \( BC \).

Answer 1

a:Ta có: \(\widehat{AMO}\) = 90° (do OM ⊥ AB) và \(\widehat{ANO}\) = 90° (do ON ⊥ AC)

Vì AO là phân giác \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{MAO}\) = \(\widehat{NAO}\)

Xét tứ giác AMON: \(\widehat{AMO}+\widehat{ANO}\) = 180° => AMON là tứ giác nội tiếp.

=> O nằm trên đường tròn đường kính AO.

Mặt khác: \(\widehat{ADB}\) = 90° (do AD ⊥ BC)

Xét tứ giác ADON: \(\widehat{ANO}=\widehat{ADB}\) = 90° => ADON là tứ giác nội tiếp.

=> O nằm trên đường tròn đường kính AN.

Vậy O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn.

b:Vì O, M, D, N cùng nằm trên một đường tròn nên tứ giác MODN nội tiếp.

=> \(\widehat{ODN}=\widehat{OMN}\) (1)

Xét tứ giác BMDO:

\(\widehat{BMO}=\widehat{BDO}\) = 90° => BMDO là tứ giác nội tiếp.

=> \(\widehat{BDM}=\widehat{BOM}\) (2)

ΔOMA = ΔONA (ch-gn)

=> OM = ON và AM = AN.

=> ΔOMN cân tại O => \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\)

Mặt khác, \(\widehat{BOM}=\widehat{MON}\) (do AO là phân giác \(\widehat{BAC}\))

Từ (1) và (2) => \(\widehat{BDM}=\widehat{ODN}\).

c:Vì OM = ON và AM = AN (cmt)

=> AO là đường trung trực của MN.

Mà OI ⊥ BC => I là TĐ của MN.

Xét ΔAMN có AO là đường trung tuyến và cũng là đường cao

=> ΔAMN cân tại A.

=> AI là đường trung tuyến của ΔAMN.

Xét ΔABC có AI là đường trung tuyến và AO là đường phân giác.

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BK}{KC}\).

Mặt khác, do I là TĐ MN và OI ⊥ BC nên K là TĐ BC.