Question

 

Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: \( A = \frac{x+5}{\sqrt{x-2}} \) và \( B = \frac{1}{\sqrt{x+2}} - \frac{2}{\sqrt{x-2}} - \frac{x-3\sqrt{x}+10}{x-4} \) với \( x \geq 0, x \neq 4 \).

1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 64 \).
2) Rút gọn biểu thức \( B \).
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = A.B \)

Answer 1

1: Thay x=64 vào A, ta được;

\(A=\dfrac{64+5}{\sqrt{64}-2}=\dfrac{69}{8-2}=\dfrac{69}{6}=\dfrac{23}{2}\)

2: \(B=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-3\sqrt{x}+10}{x-4}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{x-3\sqrt{x}+10}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2-2\left(\sqrt{x}+2\right)+x-3\sqrt{x}+10}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+8-2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

3: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{x+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+5}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{x-4+9}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\sqrt{x}+2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}-4>=2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}}-4\)

=>\(P>=2\cdot3-4=6-4=2\) với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}+2=\sqrt{9}=3\)

=>x=1