Question

(3 điểm) Cho tam giác \( ABC \) nhận nội tiếp đường tròn \( (O) \) \( (AB < AC) \). Hai tiếp tuyến tại \( B \) và \( C \) của \( (O) \) cắt nhau tại \( S \). \( SO \) cắt \( BC \) tại \( H \) và \( SA \) cắt \( (O) \) tại \( D \) (D khác A).
a) Chứng minh rằng \( SO \perp BC \) và \( SB^2 = SD \cdot SA \)
b) Chứng minh rằng \( SD \cdot SA = SH \cdot SO \) và tứ giác \( OHDA \) nội tiếp.
c) Gọi \( E \) là giao điểm của đường thẳng \( SO \) và tiếp tuyến tại \( A \) của \( (O) \). \( AO \) cắt \( BC \) tại \( F \).
Chứng minh rằng tứ giác \( EAHF \) nội tiếp và \( SA \parallel FE \).

Answer 1

a: Xét (O) có

SB,SC là các tiếp tuyến

Do đó: SB=SC

=>S nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của BC

=>SO\(\perp\)BC tại H

Xét (O) có

\(\widehat{SBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BS và dây cung BD

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{SBD}=\widehat{BAD}\)

Xét ΔSBD và ΔSAB có

\(\widehat{SBD}=\widehat{SAB}\)

\(\widehat{BSD}\) chung

Do đó: ΔSBD~ΔSAB

=>\(\dfrac{SB}{SA}=\dfrac{SD}{SB}\)

=>\(SB^2=SD\cdot SA\)

b: Xét ΔSBO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(SH\cdot SO=SB^2\)

=>\(SH\cdot SO=SD\cdot SA\)

=>\(\dfrac{SH}{SA}=\dfrac{SD}{SO}\)

Xét ΔSHD và ΔSAO có

\(\dfrac{SH}{SA}=\dfrac{SD}{SO}\)

\(\widehat{HSD}\) chung

Do đó: ΔSHD~ΔSAO

=>\(\widehat{SHD}=\widehat{SAO}\)

=>\(\widehat{DAO}+\widehat{DHO}=180^0\)

=>DAOH là tứ giác nội tiếp