a: Xét ΔMAP vuông tại A và ΔMBC vuông tại B có
MA=MB
\(\widehat{AMP}=\widehat{BMC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔMAP=ΔMBC
=>MP=MC
=>M là trung điểm của PC
Xét tứ giác ACBP có
M là trung điểm chung của AB và CP
=>ACBP là hình bình hành
b:
Ta có: ACBP là hình bình hành
=>AP=BC
mà BC=AD
nên AP=AD
=>A là trung điểm của PD
=>PD=2AD=2BC
\(S_{BCDP}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(BC+DP\right)\cdot CD\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(BC+2BC\right)\cdot BC=\dfrac{1}{2}BC\cdot3BC=\dfrac{3}{2}BC^2\)
\(S_{APBC}=S_{PAB}+S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AP+\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\)
\(=\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot BC+\dfrac{1}{2}\cdot BC\cdot BC=BC^2\)
=>\(S_{BCDP}=\dfrac{3}{2}\cdot S_{APBC}\)
=>\(2\cdot S_{BCDP}=3\cdot S_{APBC}\)
c: Gọi K là trung điểm của DC, Gọi giao điểm của AK và DN là E
Ta có: \(AM=\dfrac{AB}{2}\)
\(CK=\dfrac{CD}{2}\)
mà AB=CD(ABCD là hình vuông)
nên AM=CK
Xét tứ giác AMCK có
AM//CK
AM=CK
Do đó: AMCK là hình bình hành
=>AK//CM
Xét ΔDQC có
K là trung điểm của DC
KE//QC
Do đó: E là trung điểm của DQ
Ta có: \(MB=\dfrac{BA}{2}\)
\(NC=\dfrac{BC}{2}\)
mà BA=BC(ABCD là hình vuông)
nên MB=NC
Xét ΔMBC vuông tại B và ΔNCD vuông tại C có
MB=NC
BC=CD
Do đó: ΔMBC=ΔNCD
=>\(\widehat{BMC}=\widehat{CND}\)
=>\(\widehat{CND}+\widehat{NCQ}=90^0\)
=>MC\(\perp\)DN tại Q
mà MC//AK
nên AK\(\perp\)DN tại E
Xét ΔADQ có
AE là đường cao
AE là đường trung tuyến
Do đó: ΔADQ cân tại A
=>AD=AQ
mà AD=AB
nên AQ=AB
