Bài 12. Cho tam giác \( ABC \) có ba góc nhọn, trực tâm \( H \). Đường thẳng vuông góc với \( AB \) kẻ từ \( B \) cắt đường thẳng vuông góc với \( AC \) kẻ từ \( C \) tại \( D \).
a) Chứng minh tứ giác \( BHCD \) là hình bình hành.
b) Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \), \( O \) là trung điểm \( AD \). Chứng minh \( 2OM = AH \).
c) Gọi \( G \) là trọng tâm tam giác \( ABC \). Chứng minh ba điểm \( H, G, O \) thẳng hàng.
a: Ta có: H là trực tâm của ΔABC
=>BH\(\perp\)AC và CH\(\perp\)AB
Ta có: BH\(\perp\)AC
CD\(\perp\)CA
Do đó: BH//CD
Ta có: CH\(\perp\)AB
BD\(\perp\)BA
Do đó: CH//BD
Xét tứ giác BHCD có
BH//CD
BD//CH
Do đó: BHCD là hình bình hành
b: Ta có: BHCD là hình bình hành
=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường
mà M là trung điểm của BC
nên M là trung điểm của HD
Xét ΔDAH có
M,O lần lượt là trung điểm của DH,DA
=>MO là đường trung bình của ΔDAH
=>MO//AH và \(MO=\dfrac{1}{2}AH\)
=>AH=2MO
c: Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
G là trọng tâm
Do đó: A,G,M thẳng hàng và \(AG=\dfrac{2}{3}AM\)
Xét ΔAHD có
AM là đường trung tuyến(do M là trung điểm của HD)
\(AG=\dfrac{2}{3}AM\)
Do đó: G là trọng tâm của ΔAHD
Xét ΔAHD có
G là trọng tâm
O là trung điểm của AD
Do đó: H,G,O thẳng hàng
