Câu 5. (1,5 điểm)
Giếng làng là một hình ảnh đặc trưng có tính biểu tượng cho văn hóa của các vùng quê Việt Nam, đặc biệt là ở đồng bằng Bắc Bộ. Cùng với cây đa và sân đình, giếng làng không chỉ cung cấp nguồn nước sinh hoạt mà còn là nơi gắn kết cộng đồng, lưu giữ giá trị, văn hóa truyền thống làng quê. Do vậy, ngoài việc phục vụ nhu cầu thiết yếu, giếng làng có tuổi đời hàng trăm năm, người dân ở một số vùng quê còn xây mới giếng làng để góp phần tạo nên hình ảnh làng quê nông thôn vừa trù mật vừa cổ kính, mở rộng không gian là địa chỉ để truyền lại cho thế hệ trẻ những giá trị đáng quý của văn hóa làng.
Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích \(81m^2\) ở một vùng quê, người dân muốn đào một chiếc giếng làng hình trụ sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất, đồng thời để tạo ra khoảng không gian đủ lớn cho mọi người có thể đi lại xung quanh giếng, thì trên mảnh đất đó đặt qua tâm của hình tròn và vuông góc với các cạnh của hình vuông, người ta sẽ kẻ một khoảng \(x\) (m) để cắt thành hình vuông của mảnh đất đến đường tròn của hình giếng (mô phỏng bởi hình hình vẽ bên). Biết độ sâu của giếng (không tính phần gạch được xây quanh) là độ dài một cạnh của mảnh đất bằng 6x (m).
a) Nếu giếng có độ sâu bằng 6 (m) thì diện tích xung quanh của giếng bằng bao nhiêu m?
b) Tìm giá trị của x để giếng (không tính phần gạch được xây lên từ mặt đất) có thể chứa được lượng nước nhiều nhất và cho biết lượng nước đó bằng bao nhiêu m?
a)
Mảnh đất hình vuông diện tích 81 m2 ⇒ cạnh a = 9 m
Trên đường chéo, khoảng cách từ tâm đến cạnh theo phương vuông góc là a/2 = 4,5 m
Theo hình vẽ, bán kính giếng r = 4,5 − x
Với x = 6 m là độ sâu giếng
Diện tích xung quanh của giếng
Sxq = 2πrh
= 2π(4,5 − x).6
= 12π(4,5 − x) m2
b)
Thể tích nước tối đa bằng thể tích hình trụ
V = πr2h
= π(4,5 − x)2.6 m3
