Question

2) Cho tam giác \( ABC \) có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao \( AF, BD, CE \) cắt nhau tại \( H \). Gọi điểm \( O, I \) thứ tự là trung điểm của \( BC, AH \).

a) Chứng minh bốn điểm \( A, E, D, H \) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \( \angle AEI = \angle OCE \) và \( EI \perp EO \).

c) Chứng minh \( \frac{1}{AH^2} + \frac{1}{BC^2} = \frac{1}{ED^2} \).

Answer 1

​​

​

c: Ta có: IE=ID

=>I nằm trên đường trung trực của ED(4)

Ta có: BEDC nội tiếp (O)

=>OE=OD

=>O nằm trên đường trung trực của ED(3)

Gọi K là giao điểm của OI và ED

Từ (3),(4) suy ra OI là đường trung trực của ED

=>OI\(\perp\)ED tại K và K là trung điểm của ED

BEDC nội tiếp (O)

=>\(OD=OB=\dfrac{1}{2}BC\)

ΔADH vuông tại D

mà DI là đường trung tuyến

nên \(DI=\dfrac{1}{2}AH\)

Xét ΔIDO vuông tại D có DK là đường cao

nên \(\dfrac{1}{DK^2}=\dfrac{1}{DI^2}+\dfrac{1}{DO^2}\)

=>\(\dfrac{1}{\left(2\cdot DK\right)^2}=\dfrac{1}{\left(2\cdot DI\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2\cdot DO\right)^2}\)

=>\(\dfrac{1}{ED^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{BC^2}\)