a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>BA\(\perp\)DC tại A
Xét ΔDBC vuông tại B có BA là đường cao
nên \(DA\cdot DC=DB^2\)
b: Xét tứ giác DBOE có \(\widehat{DBO}+\widehat{DEO}=90^0+90^0=180^0\)
nên DBOE là tứ giác nội tiếp
=>D,B,O,E cùng thuộc một đường tròn
Xét (O) có
DB,DE là các tiếp tuyến
Do đó: DB=DE
=>D nằm trên đường trung trực của BE(1)
Ta có: OB=OE
=>O nằm trên đường trung trực của BE(2)
Từ (1),(2) suy ra DO là đường trung trực của BE
=>DO\(\perp\)BE tại I
Xét ΔDBO vuông tại B có BI là đường cao
nên \(DI\cdot DO=DB^2\)
=>\(DI\cdot DO=DA\cdot DC\)
c: Gọi F là giao điểm của CE và BD
Ta có: EM\(\perp\)BC
FB\(\perp\)BC
Do đó: EM//FB
Xét (O) có
ΔBEC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBEC vuông tại E
=>BE\(\perp\)CF tại E
=>ΔBEF vuông tại E
Ta có: \(\widehat{DBE}+\widehat{DFE}=90^0\)(ΔFEB vuông tại E)
\(\widehat{DEB}+\widehat{DEF}=\widehat{FEB}=90^0\)
mà \(\widehat{DBE}=\widehat{DEB}\)(ΔDBE cân tại D)
nên \(\widehat{DFE}=\widehat{DEF}\)
=>DE=DF
mà DE=DB
nên DB=DF(3)
Xét ΔCDB có MG//DB
nên \(\dfrac{MG}{DB}=\dfrac{CG}{CD}\left(4\right)\)
Xét ΔCDF có EG//DF
nên \(\dfrac{EG}{DF}=\dfrac{CG}{CD}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra MG=EG
=>G là trung điểm của ME
Xét ΔEBM có
I,G lần lượt là trung điểm của EB,EM
=>IG là đường trung bình của ΔEBM
=>IG//BM
=>IG//BC
