1: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{4^2+\left(4\sqrt{3}\right)^2}=8\left(cm\right)\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)
nên \(\widehat{C}=30^0\)
ΔABC vuông tại A
=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>\(\widehat{ABC}=90^0-30^0=60^0\)
2: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔCAB vuông tại A có
\(\widehat{ABH}\) chung
Do đó: ΔAHB~ΔCAB
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
3: Xét ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao
nên \(BD\cdot BA=BH^2;AD\cdot AB=AH^2\)
=>\(BD=\dfrac{BH^2}{BA};AD=\dfrac{AH^2}{AB}\)
Xét ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao
nên \(CE\cdot CA=CH^2\); \(AE\cdot AC=AH^2\)
=>\(CE=\dfrac{CH^2}{CA}\); \(AE=\dfrac{AH^2}{AC}\)
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>AD=HE; AE=HD
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AB^2=BH\cdot BC;AC^2=CH\cdot CB\)
=>\(BH=\dfrac{AB^2}{BC};CH=\dfrac{AC^2}{CB}\)
\(\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{HB^2}{BA}:\dfrac{HC^2}{CA}=\dfrac{HB^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{HC^2}\)
\(=\dfrac{HB^2}{HC^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}\)
\(=\left(\dfrac{AB^2}{BC}:\dfrac{AC^2}{CB}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\left(\dfrac{AB^2}{AC^2}\right)^2\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)(2)
\(\dfrac{HD^3}{HE^3}=\dfrac{AE^3}{AD^3}=\left(\dfrac{AE}{AD}\right)^3\)
\(=\left(\dfrac{AH^2}{AC}:\dfrac{AH^2}{AB}\right)^3=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)(1)
Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{BD}{CE}=\dfrac{HD^3}{HE^3}\)
=>\(BD\cdot HE^3=CE\cdot HD^3\)
