a: Xét (O) có
IB,IA là các tiếp tuyến
Do đó: IB=IA và IO là phân giác của góc BIA
Xét (O') có
IA,IC là các tiếp tuyến
Do đó: IA=IC và IO' là phân giác của góc AIC
Ta có: IB=IA
IA=IC
Do đó: IB=IC
=>I là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
AI là đường trung tuyến
\(AI=\frac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>AB⊥CA
Ta có: IB=IA
=>I nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OB=OA
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra IO là đường trung trực của AB
=>IO⊥AB tại E
Ta có; IA=IC
=>I nằm trên đường trung trực của AC(3)
Ta có: O'A=O'C
=>O' nằm trên đường trung trực của AC(4)
Từ (3),(4) suy ra O'I là đường trung trực của AC
=>O'I⊥AC tại F và F là trung điểm của AC
Xét tứ giác AEIF có \(\hat{AEI}=\hat{AFI}=\hat{FIE}=90^0\)
nên AEIF là hình chữ nhật
=>A,E,I,F cùng thuộc đường tròn có hai đường kính là AI và EF
Tâm K là trung điểm chung của AI và EF
b: Xét ΔIAO vuông tại A có AE là đường cao
nên \(IE\cdot IO=IA^2\)
Xét ΔIAO' vuông tại A có AF là đường cao
nên \(IF\cdot IO^{\prime}=IA^2\)
Xét ΔABC vuông tại A có \(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(AB^2+AC^2=\left(2\cdot IA\right)^2=4\cdot IA^2\)
\(IE\cdot IO+IF\cdot IO^{\prime}\)
\(=IA^2+IA^2=2IA^2\)
\(=\frac12\cdot4\cdot IA^2=\frac12\left(AB^2+AC^2\right)\)
c: AEIF là hình chữ nhật
=>AI=EF
mà \(AK=\frac{AI}{2};EK=\frac{EF}{2}\)
nên KA=KE
ΔEOA vuông tại E
mà EP là đường trung tuyến
nên EP=PA
Xét ΔPEK và ΔPAK có
PE=PA
EK=AK
PK chung
Do đó: ΔPEK=ΔPAK
=>\(\hat{PEK}=\hat{PAK}=90^0\)
=>PE là tiếp tuyến tại E của (K)
=>PE tiếp xúc với (K) tại E
