a) Gọi \(I;J\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\)
Nên ta có :
\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OI}\left(1\right)\)
\(\overrightarrow{JA'}+\overrightarrow{JB'}+\overrightarrow{JC'}+\overrightarrow{JD'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{OD'}=4\overrightarrow{OJ}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC}'+\overrightarrow{OD'}=2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}\right)\)
Giả sử \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC}'+\overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow2\left(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\) \(O\) là trung điểm \(IJ\) hay \(O\) cũng là tâm của HHCN \(ABCD.A'B'C'D'\)
Vậy \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC}'+\overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{0}\) thỏa mãn đề bài.
b) Ta có :
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC}'+\overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC'}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MD'}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow8\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC}'+\overrightarrow{MD'}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}=\dfrac{1}{8}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC}'+\overrightarrow{MD'}\right)\)
Nên \(O\) là tâm của HHCN cũng là điểm duy nhất thỏa đề bài
