Xét ΔBAC có BA=BC
nên ΔBAC cân tại B
ΔBAC cân tại B
mà BG là đường trung tuyến
nên BG là đường trung trực của AC
=>BG\(\perp\)AC và GA=GC
ΔDAC cân tại D
mà DG' là đường trung tuyến
nên DG'\(\perp\)AC và G'A=G'C
Ta có: BG\(\perp\)AC
BD\(\perp\)AC(ABCD là hình thoi)
BG,BD có điểm chung là B
Do đó: B,G,D thẳng hàng(1)
Ta có: DG'\(\perp\)AC
BD\(\perp\)AC(ABCD là hình thoi)
DG',BD có điểm chung là D
Do đó: B,G',D thẳng hàng(2)
Từ (1),(2) suy ra B,G,G',D thẳng hàng
=>AC\(\perp\)GG'
Gọi giao điểm của BD với AC là O
ABCD là hình thoi
mà O là giao điểm của BD và AC
nên O là trung điểm chung của AC và BD
=>OB=OD(4)
Xét ΔBAC có
G là trọng tâm
BO là đường trung tuyến
Do đó: \(GO=\dfrac{1}{3}BO\)(3)
Xét ΔDAC có
G' là trọng tâm
DO là đường trung tuyến
Do đó: \(G'O=\dfrac{DO}{3}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra GO=G'O
=>O là trung điểm của GG'
Xét tứ giác AGCG' có
O là trung điểm chung của AC và GG'
Do đó: AGCG' là hình bình hành
Hình bình hành AGCG' có GA=GC
nên AGCG' là hình thoi
