1: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH=\sqrt{4\cdot9}=6\left(cm\right)\)
Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
=>DE=AH
mà AH=6cm
nên DE=6cm
2:
Ta có: \(\widehat{NED}=\widehat{NEH}+\widehat{DEH}\)
=>\(\widehat{NEH}+\widehat{DAH}=90^0\)
mà \(\widehat{DAH}+\widehat{ABC}=90^0\)(ΔHAB vuông tại H)
nên \(\widehat{NEH}=\widehat{ABC}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{NHE}\)(HE//AB)
nên \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)
=>NE=NH
Ta có: \(\widehat{NEH}+\widehat{NEC}=\widehat{CEH}=90^0\)
\(\widehat{NHE}+\widehat{NCE}=90^0\)
mà \(\widehat{NEH}=\widehat{NHE}\)
nên \(\widehat{NEC}=\widehat{NCE}\)
=>NE=NC
=>NC=NH
=>N là trung điểm của CH
Ta có: \(\widehat{MDE}=\widehat{MDH}+\widehat{EDH}\)
=>\(\widehat{MDH}+\widehat{EDH}=90^0\)
mà \(\widehat{EDH}=\widehat{EAH}=\widehat{HAC}\)(ADHE là hình chữ nhật)
nên \(\widehat{MDH}+\widehat{HAC}=90^0\)
mà \(\widehat{HAC}+\widehat{HAB}=90^0\)
nên \(\widehat{MDH}=\widehat{HAB}\)
=>\(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)
=>ΔMDH cân tại M
=>MD=MH
Ta có: \(\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^0\)
\(\widehat{MHD}+\widehat{MBD}=90^0\)
mà \(\widehat{MDH}=\widehat{MHD}\)
nên \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)
=>MB=MD
=>MB=MH
=>M là trung điểm của BH
3: ΔHDB vuông tại D
mà DM là đường trung tuyến
nên \(DM=\dfrac{BH}{2}=2\left(cm\right)\)
ΔHEC vuông tại E
mà EN là đường trung tuyến
nên \(EN=\dfrac{CH}{2}=4,5\left(cm\right)\)
Diện tích hình thang MDEN là:
\(S_{MDEN}=\dfrac{1}{2}\left(DM+EN\right)\cdot ED=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot\left(2+4,5\right)=3\cdot6,5=19,5\left(cm^2\right)\)
