1: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
2: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BA
=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HO\cdot HM=HA^2\)(3)
Vì MO cắt (O) tại E,F
nên EF là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔEAF nội tiếp
EF là đường kính
Do đó: ΔEAF vuông tại A
Xét ΔEAF vuông tại A có AH là đường cao
nên \(HE\cdot HF=HA^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(HE\cdot HF=HO\cdot HM\)
3: Xét (O) có
\(\widehat{MAN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AN
\(\widehat{APN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN
Do đó: \(\widehat{MAN}=\widehat{APN}\)
Xét ΔMAN và ΔMPA có
\(\widehat{MAN}=\widehat{MPA}\)
\(\widehat{AMN}\) chung
Do đó: ΔMAN~ΔMPA
=>\(\dfrac{MA}{MP}=\dfrac{MN}{MA}\)
=>\(MA^2=MN\cdot MP\left(5\right)\)
Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) suy ra \(MN\cdot MP=MH\cdot MO\)
=>\(\dfrac{MN}{MO}=\dfrac{MH}{MP}\)
Xét ΔMNH và ΔMOP có
\(\dfrac{MN}{MO}=\dfrac{MH}{MP}\)
\(\widehat{NMH}\) chung
Do đó: ΔMNH~ΔMOP
=>\(\widehat{MHN}=\widehat{MPO}\)
