9: Gọi K là giao điểm thứ hai của BI và (O)
ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥CD tại I
Xét tứ giác OIMB có \(\hat{OIM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIMB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM(4)
=>\(\hat{BIM}=\hat{BOM}\) (1)
Xét tứ giác AIOM có \(\hat{OIM}=\hat{OAM}=90^0\)
nên AIOM là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM(5)
=>\(\hat{AIM}=\hat{AOM}\) (2)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: OM là phân giác của góc AOB
=>\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{AIM}=\hat{BIM}\)
mà \(\hat{AIM}+\hat{AID}=180^0\) (hai góc kề bù)
và \(\hat{BIM}+\hat{DIB}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{DIA}=\hat{BID}\)
Từ (4),(5) suy ra O,I,A,M,B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
=>AIBM là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{BIM}=\hat{BAM}\) (6)
Xét (O) có
\(\hat{BAM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AB
\(\hat{AKB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
Do đó: \(\hat{BAM}=\hat{AKB}\) (7)
Từ (6),(7) suy ra \(\hat{BIM}=\hat{BAK}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị
nên AK//IM
=>AK//CD
Xét (O) có
KA,CD là các dây
AK//CD
Do đó: Sđ cung KD=sđ cung AC
mà \(\hat{IDA}=\hat{CDA}\) =1/2*sđ cung AC
và \(\hat{IBD}=\hat{KBD}\) =1/2*sđ cung KD
nên \(\hat{IDA}=\hat{IBD}\)
Xét ΔIDA và ΔIBD có
\(\hat{IDA}=\hat{IBD}\)
\(\hat{DIA}=\hat{BID}\)
Do đó: ΔIDA~ΔIBD
=>\(\frac{ID}{IB}=\frac{IA}{ID}\)
=>\(ID^2=IA\cdot IB\)
=>\(4\cdot IA\cdot IB=4\cdot ID^2=CD^2\)
10: Kẻ OI⊥CD tại I, gọi X là giao điểm của OI và AB
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(OH\cdot OM=OA^2=R^2\left(3\right)\)
Xét ΔOHX vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có
\(\hat{HOX}\) chung
Do đó: ΔOHX~ΔOIM
=>\(\frac{OH}{OI}=\frac{OX}{OM}\)
=>\(OI\cdot OX=OH\cdot OM\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(OI\cdot OX=R^2\)
=>\(OI\cdot OX=OC^2\)
=>\(\frac{OI}{OC}=\frac{OC}{OX}\)
Xét ΔOIC và ΔOCX có
\(\frac{OI}{OC}=\frac{OC}{OX}\)
góc IOC chung
Do đó: ΔOIC~ΔOCX
=>\(\hat{OIC}=\hat{OCX}\)
=>\(\hat{OCX}=90^0\)
=>XC là tiếp tuyến của (O)(5)
ΔOCD cân tại O
mà OI là đường cao
nên OI là phân giác của góc COD
Xét ΔOCX và ΔODX có
OC=OD
\(\hat{COX}=\hat{DOX}\)
OX chung
Do đó; ΔOCX=ΔODX
=>\(\hat{OCX}=\hat{ODX}\)
=>\(\hat{ODX}=90^0\)
=>DX là tiếp tuyến của (O)(6)
Từ (5),(6) suy ra XC,XD là các tiếp tuyến của (O)
mà KC,KD là các tiếp tuyến của (O)
và X,K cùng thuộc tia đối của tia AB
nên X trùng với K
=>K,A,B thẳng hàng
11:
ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI⊥CD tại I
Xét tứ giác OIAM có \(\hat{OIM}=\hat{OAM}=90^0\)
nên OIAM là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{AIM}=\hat{AOM}\) (1)
Xét tứ giác OIMB có \(\hat{OIM}+\hat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIMB là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{MOB}=\hat{MIB}\left(2\right)\)
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: OM là phân giác của góc AOB
=>\(\hat{AOM}=\hat{BOM}\left(3_{}\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{AIM}=\hat{MIB}\)
=>IM là phân giác của góc AIB
