a: Xét tứ giác AFDC có \(\hat{AFC}=\hat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{DFC}=\hat{DAC}\)
=>\(\hat{DFH}=\hat{DAE}\)
Xét tứ giác BFHD có \(\hat{BFH}+\hat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên BFHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEHD là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{FDH}=\hat{FBH}\) (BFHD nội tiếp)
\(\hat{EDH}=\hat{ECH}\) (HECD nội tiếp)
mà \(\hat{FBH}=\hat{ECH}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)
nên \(\hat{FDH}=\hat{EDH}\)
Xét ΔDFH và ΔDAE có
\(\hat{DFH}=\hat{DAE}\)
\(\hat{FDH}=\hat{ADE}\)
Do đó: ΔDFH~ΔDAE
=>\(\frac{DF}{DA}=\frac{DH}{DE}\)
=>\(DF\cdot DE=DH\cdot DA\)
=>\(\frac{DH}{DE}=\frac{DF}{DA}\)
b: Bổ sung: M là trung điểm của BC
Xét tứ giác AFHE có \(\hat{AFH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEHF là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\hat{HFE}=\hat{HAE}\) (AEHF nội tiếp)
\(\hat{HFD}=\hat{HBD}\) (BFHD nội tiếp)
mà \(\hat{HAE}=\hat{HBD}\left(=90^0-\hat{ACB}\right)\)
nên \(\hat{HFE}=\hat{HFD}\)
=>FH là phân giác của góc DFE
=>\(\hat{DFE}=2\cdot\hat{DFH}=2\cdot\hat{EBC}\)
ΔEBC vuông tại E
mà EM là đường trung tuyến
nên ME=MB
=>ΔMEB cân tại M
=>\(\hat{BME}=180^0-2\cdot\hat{EBM}\)
\(\hat{DFE}+\hat{DME}\)
\(=2\cdot\hat{EBC}+180^0-2\cdot\hat{EBC}=180^0\)
=>DMEF là tứ giác nội tiếp
