Ta có: CE\(\perp\)BO
AB\(\perp\)BO
Do đó: CE//AB
Xét (O) có
\(\widehat{ACM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CM
\(\widehat{MEC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC
Do đó: \(\widehat{ACM}=\widehat{MEC}\)
mà \(\widehat{MEC}=\widehat{MAI}\)(hai góc so le trong, CE//BA)
nên \(\widehat{ACM}=\widehat{MAI}\)
Xét ΔIAM và ΔICA có
\(\widehat{IAM}=\widehat{ICA}\)
\(\widehat{AIM}\) chung
Do đó: ΔIAM~ΔICA
=>\(\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{IM}{IA}\)
=>\(IA^2=IM\cdot IC\left(1\right)\)
Xét (O) có
\(\widehat{IBM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BI và dây cung BM
\(\widehat{BCM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM
Do đó: \(\widehat{IBM}=\widehat{BCM}=\widehat{ICB}\)
Xét ΔIBM và ΔICB có
\(\widehat{IBM}=\widehat{ICB}\)
\(\widehat{BIM}\) chung
Do đó: ΔIBM~ΔICB
=>\(\dfrac{IB}{IC}=\dfrac{IM}{IB}\)
=>\(IB^2=IM\cdot IC\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra IA=IB
=>I là trung điểm của AB
