Bài 4:
a: Ta có: ΔOMN cân tại O
mà OA là đường cao
nên OA là phân giác của góc MON
Xét ΔOMA và ΔONA có
OM=ON
\(\widehat{MOA}=\widehat{NOA}\)
OA chung
Do đó: ΔOMA=ΔONA
=>\(\widehat{OMA}=\widehat{ONA}\)
mà \(\widehat{OMA}=90^0\)
nên \(\widehat{ONA}=90^0\)
=>AN là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
KB,KC là tiếp tuyến
Do đó: KB=KC
=>K nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OK là đường trung trực của BC
=>OK\(\perp\)BC tại I và I là trung điểm của BC
Xét ΔOCK vuông tại C có CI là đường cao
nên \(OI\cdot OK=OC^2=ON^2\)(3)
c: Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OM^2=ON^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(OI\cdot OK=OH\cdot OA\)
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
Xét ΔOIA và ΔOHK có
\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
\(\widehat{IOA}\) chung
Do đó: ΔOIA đồng dạng với ΔOHK
=>\(\widehat{OIA}=\widehat{OHK}=90^0\)
=>KH\(\perp\)AO tại H
mà HN\(\perp\)AO tại H
và KH,HN có điểm chung là H
nên K,H,N thẳng hàng
