a) Do M là trung điểm của AD (gt)
⇒ AM = MD = AD : 2
Do N là trung điểm của BC (gt)
⇒ BN = NC = BC : 2
Do ABCD là hình bình hành
⇒ AD // BC
⇒ AM // BN
Do ABCD là hình bình hành (gt)
⇒ AD = BC
⇒ AM = BN
Do BC = 2AB
⇒ AB = BC : 2
⇒ AM = AB = BC : 2
Tứ giác AMNB có:
AM // BN (cmt)
AM = BN (cmt)
⇒ AMNB là hình bình hành
Mà AM = AB (cmt)
⇒ AMNB là hình thoi
b) Do AD // BC (cmt)
⇒ DM // BN
Lại có:
AD = BC (cmt)
⇒ DM = AD : 2 = BC : 2 = BN
Tứ giác BMDN có:
DM // BN (cmt)
DM = BN (cmt)
⇒ BMDN là hình bình hành
⇒ BM // DN
⇒ PM // QN
Do AD // BC (cmt)
⇒ AM // CN
Lại có:
AD = BC (cmt)
⇒ AM = AD : 2 = BC : 2 = CN
Tứ giác AMCN có:
AM // CN (cmt)
AM = CN (cmt)
⇒ AMCN là hình bình hành
⇒ AN // CM
⇒ PN // QM
Do AMNB là hình thoi (cmt)
⇒ AN ⊥ BM
⇒ PN ⊥ PM
⇒ MPN = 90⁰
Tứ giác MPNQ có:
PN // QM (cmt)
PM // QN (cmt)
⇒ MPNQ là hình bình hành
Mà MPN = 90⁰ (cmt)
⇒ MPNQ là hình chữ nhật
c) Để AMNB là hình vuông thì AM AB
⇒ AD ⊥ AB
⇒ ABCD là hình chữ nhật
Vậy ABCD là hình chữ nhật thì AMNB là hình vuông
Phần a,
Từ điều kiện \( BC = 2AB \), ta có \( \frac{BC}{AB} = 2 \).
Vì \( M \) là trung điểm của \( AD \), \( N \) là trung điểm của \( CB \), nên \( \frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC} = 1 \).
Do đó, \( \frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC} = 1 = \frac{BC}{AB} \).
Vậy, theo định lí đồng tỉ, ta có \( MN \parallel AC \).
Từ đó, ta suy ra \( \angle AMN = \angle BAC \) và \( \angle BNM = \angle ABC \).
Do đó, tứ giác \( AMNB \) là tứ giác bình hành.
