1: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
=>MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
2: Xét (O) có
ΔACD nội tiếp
AD là đường kính
Do đó:ΔACD vuông tại C
=>AC\(\perp\)CD tại C
=>AC\(\perp\)MD tại C
Xét ΔAMD vuông tại A có AC là đường cao
nên \(MC\cdot MD=MA^2\left(1\right)\)
Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(2)
ta có: OA=OB(=R)
nên O nằm trên đường trung trực của AB(3)
Từ (2) và (3) suy ra OM là đường trung trực của BA
=>OM\(\perp\)AB tại trung điểm của AB
=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao
nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(4\right)\)
Từ (1) và (4) suy ra \(MC\cdot MD=MH\cdot MO=MA^2\)
3: Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOAM vuông tại A có
\(\widehat{AOH}\) chung
Do đó: ΔOHA đồng dạng với ΔOAM
=>\(\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{AH}{AM}=\dfrac{OH}{IO}\left(5\right)\)
Ta có: ΔAHI vuông tại H
=>\(\widehat{HAI}+\widehat{HIA}=90^0\)
=>\(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)
Ta có: \(\widehat{HAI}+\widehat{OIA}=90^0\)
\(\widehat{OAI}+\widehat{MAI}=\widehat{OAM}=90^0\)
mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)
nên \(\widehat{HAI}=\widehat{MAI}\)
=>AI là phân giác của góc HAM
Xét ΔHAM có AI là phân giác
nên \(\dfrac{IH}{IM}=\dfrac{AH}{AM}\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) suy ra \(\dfrac{IH}{IM}=\dfrac{OH}{IO}\)
=>\(IH\cdot IO=IM\cdot OH\)
