Bài 8:
a: ΔBCD vuông tại C
=>ΔBCD nội tiếp đường tròn đường kính BD
mà ΔBCD nội tiếp (O)
nên O là trung điểm của BD
=>B,O,D thẳng hàng
b: Gọi giao điểm của HM với CD là I
Xét tứ giác BHIC có
\(\widehat{BHI}+\widehat{BCI}=90^0+90^0=180^0\)
nên BHIC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BI
ΔOAC cân tại O
mà OM là đường trung tuyến
nên OM vuông góc AC
=>\(\widehat{OMH}+\widehat{AMH}=90^0\)
mà \(\widehat{AMH}+\widehat{HAM}=90^0\)(ΔAHM vuông tại H)
nên \(\widehat{OMH}=\widehat{HAM}\)
=>\(\widehat{OMH}=\widehat{BAC}\)(1)
Xét (O) có
\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
\(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC
Do đó: \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{OMH}=\widehat{BDC}\)
mà \(\widehat{BDC}=\widehat{OCD}\)(ΔOCD cân tại O)
nen \(\widehat{OMH}=\widehat{OCD}\)
mà \(\widehat{OMH}+\widehat{OMI}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{OMI}+\widehat{OCD}=180^0\)
=>\(\widehat{OMI}+\widehat{OCI}=180^0\)
=>OHIC nội tiếp
=>\(\widehat{OMC}=\widehat{OIC}=90^0\)
=>OI\(\perp\)CD
ΔOCD cân tại O
mà OI là đường cao
nên I là trung điểm của CD
BC cố định, CD\(\perp\)BC tại C
=>CD cố định
=>I cố định
=>MH luôn đi qua trung điểm của CD
