Bài 5:
a: Xét (O) có
CI,CA là tiếp tuyến
Do đó: CA=CI và OC là phân giác của góc AOI
=>\(\widehat{AOI}=2\cdot\widehat{COI}\)
Xét (O) có
DI,DB là tiếp tuyến
Do đó: DI=DB và OD là phân giác của góc BOI
=>\(\widehat{BOI}=2\cdot\widehat{DOI}\)
AC+BD
=CI+DI
=CD
b: \(\widehat{IOA}+\widehat{IOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{COI}+\widehat{DOI}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)
=>\(\widehat{COD}=90^0\)
Xét ΔOCD vuông tại O có OI là đường cao
nên \(CI\cdot ID=OI^2\)
=>\(AC\cdot BD=OI^2=R^2\)
c: Gọi M là trung điểm của CD
ΔOCD vuông tại O
=>ΔOCD nội tiếp đường tròn đường kính CD
=>ΔOCD nội tiếp (M)
Xét hình thang ACDB(AC//DB) có
O,M lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>OM là đường trung bình của hình thang ACDB
=>OM//AC//BD
=>OM\(\perp\)AB
Xét (M) có
MO là bán kính
AB\(\perp\)MO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (M)
=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD(ĐPCM)
Bài 6:
a: Xét hình thang AEFB(AE//FB) có
O là trung điểm của AB
OC//AE//FB
Do đó: C là trung điểm của EF
=>EC=CF
b: Xét ΔOAC có OA=OC
nên ΔOAC cân tại O
=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)
mà \(\widehat{OCA}=\widehat{EAC}\)(hai góc so le trong,AE//CO)
nên \(\widehat{EAC}=\widehat{OAC}\)
=>AC là phân giác của góc BAE
c: Xét ΔOCB có OB=OC
nên ΔOCB cân tại O
=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)
mà \(\widehat{OCB}=\widehat{FBC}\)(hai góc so le trong,OC//FB)
nên \(\widehat{OBC}=\widehat{FBC}\)
=>BC là phân giác của góc OBF
Xét ΔAHC vuông tại H và ΔAEC vuông tại E có
AC chung
\(\widehat{HAC}=\widehat{EAC}\)
Do đó:ΔAHC=ΔAEC
=>AH=AE
Xét ΔBHC vuông tại H và ΔBFC vuông tại F có
BC chung
\(\widehat{HBC}=\widehat{FBC}\)
Do đó: ΔBHC=ΔBFC
=>BH=BF
Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(CH^2=AH\cdot HB=AE\cdot BF\)
