4.2:
a: ΔADB vuông tại D có DE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AD^2\left(1\right)\)
ΔADC vuông tại D có DF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AD^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAEF và ΔACB có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
\(\widehat{BAC}\) chung
Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔACB
b: AB=AE+EB
=16+9
=25(cm)
Xét ΔADB vuông tại D có DE là đường cao
nên \(AD^2=AE\cdot AB\)
=>\(AD=\sqrt{16\cdot25}=20\left(cm\right)\)
Xét ΔADB vuông tại D có \(tanABD=\dfrac{AD}{DB}\)
\(=\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}\)
=>\(\tan AFE=\tan ABD=\dfrac{4}{3}\)
c: \(AE\cdot cosACB+AF\cdot cosABC\)
\(=AE\cdot cosAEF+AF\cdot cosAFE\)
\(=AE\cdot\dfrac{EA^2+EF^2-AF^2}{2\cdot EA\cdot EF}+AF\cdot\dfrac{FA^2+FE^2-AE^2}{2\cdot FA\cdot FE}\)
\(=\dfrac{EA^2+EF^2-AF^2}{2\cdot EF}+\dfrac{FA^2+FE^2-AE^2}{2\cdot FE}\)
\(=\dfrac{2FE^2}{2FE}=FE\)
