a: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC\)
=>\(AH=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\left(cm\right)\)
ΔHAB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(AB^2=20+16=36\)
=>AB=6(cm)
b: ΔAHC vuông tại H
=>\(HA^2+HC^2=AC^2\)
=>\(AC=\sqrt{20+25}=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)
Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(\left\{{}\begin{matrix}HN\cdot AC=HA\cdot HC\\CN\cdot CA=CH^2\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}HN\cdot3\sqrt{5}=5\cdot2\sqrt{5}=10\sqrt{5}\\CN\cdot3\sqrt{5}=25\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}HN=\dfrac{10}{3}\left(cm\right)\\CN=\dfrac{5\sqrt{5}}{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
c:
\(\dfrac{CN\cdot CA}{AH^2}=\dfrac{CH^2}{AH^2}\)
\(\dfrac{AB^2}{BH^2}-1=\dfrac{AB^2-BH^2}{BH^2}=\dfrac{AH^2}{BH^2}\)
mà \(\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{AH}{BH}\left(AH^2=HB\cdot HC\right)\)
nên \(\dfrac{CN\cdot CA}{AH^2}=\dfrac{AB^2}{BH^2}-1\)
