Bài 6:
a: E nằm trên đường tròn đường kính AH
=>\(\hat{AEH}=90^0\)
=>HE⊥AC tại E
F nằm trên đường tròn đường kính BH
=>\(\hat{HFB}=90^0\)
=>HF⊥CB tại F
Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
xét tứ giác CEHF có \(\hat{CEH}=\hat{CFH}=\hat{ECF}=90^0\)
nên CEHF là hình chữ nhật
b: Gọi I là trung điểm của AH, X là trung điểm của HB
=>I là tâm đường tròn đường kính AH và X là tâm đường tròn đường kính HB
CEHF là hình chữ nhật
=>\(\hat{HEF}=\hat{HCF}\)
mà \(\hat{HCF}=\hat{FHB}\left(=90^0-\hat{FBH}\right)\)
nên \(\hat{HEF}=\hat{FHB}\)
ΔIEH cân tại I
=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}\)
mà \(\hat{IHE}=\hat{CBA}\) (hai góc đồng vị, HE//CB)
nên \(\hat{IEH}=\hat{CBA}\)
\(\hat{FEI}=\hat{FEH}+\hat{IEH}\)
\(=\hat{FHB}+\hat{FBH}=90^0\)
=>FE⊥ EI tại E
=>FE là tiếp tuyến tại E của (I)
Ta có: ΔXFH cân tại X
=>\(\hat{XFH}=\hat{XHF}\)
mà \(\hat{XHF}=\hat{BAC}\) (hai góc đồng vị, HF//AC)
nên \(\hat{XFH}=\hat{BAC}\)
CEHF là hình chữ nhật
=>\(\hat{EFH}=\hat{ECH}=\hat{ACH}\)
\(\hat{XFE}=\hat{XFH}+\hat{EFH}\)
\(=\hat{BAC}+\hat{ACH}=90^0\)
=>XF⊥FE tại F
=>FE là tiếp tuyến tại F của (X)
c: Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(\frac{1}{CH^2}=\frac{1}{CA^2}+\frac{1}{CB^2}\)
=>\(\frac{1}{FE^2}=\frac{1}{CA^2}+\frac{1}{CB^2}\)
Bài 7:
Ta có hình vẽ sau:
Gọi AC là chiều cao , B là vị trí gặp nạn
Theo đề, ta có: ΔABC vuông tại A, AC=150m; \(\hat{B}=20^0\)
Xét ΔABC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}\)
=>\(BC=\frac{150}{\sin20}\) ≃438,6(m)
=>Muốn cứu thì phải đi quãng đường khoảng 438,6 mét
