Question

Answer 1

a) Điều kiện xác định : \(x\ge0;x\notin\left\{1;9\right\}\)

Ta có biểu thức \(P=\left(\dfrac{x+2\sqrt{x}-7}{x-9}+\dfrac{\sqrt{x}-1}{3-\sqrt{x}}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left[\dfrac{x+2\sqrt{x}-7}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\right]:\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}-7-\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\dfrac{-4}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{-4}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\)

Vậy : Với \(x\ge0;x\notin\left\{1;9\right\}\) thì \(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}\)

 

b) Ta có : \(x=4-2\sqrt{3}=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)

Sử dụng kết quả ở câu (a), thay \(\sqrt{x}=\sqrt{3}-1\) vào biểu thức P ta được :

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{3}-1-1}{\sqrt{3}-1-3}=\dfrac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-4}\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+4\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^2-4^2}=\dfrac{5-2\sqrt{3}}{13}\)

 

c) Sử dụng kết quả ở câu (a), để P < 1 thì \(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}< 1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-1< 0\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}< 0\)

Do 2 > 0 nên để P < 1 thì \(\sqrt{x}-3< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\Leftrightarrow x< 9\)

Kết hợp với điều kiện xác định, ta được miền nghiệm x cần tìm là \(0\le x< 9;x\ne1\)

 

d) Bổ sung điều kiện xác định với riêng câu (d) : \(x\in Z\). Sử dụng kết quả ở câu (a), ta có :

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}=\dfrac{\sqrt{x}-3+2}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}\)

Để P nhận giá trị nguyên thì \(\dfrac{2}{\sqrt{x}-3}\) phải có giá trị nguyên (do 1 là số nguyên), hay \(2⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\Rightarrow\sqrt{x}-3\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

- Khi \(\sqrt{x}-3=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16\) (thỏa mãn điều kiện)

- Khi \(\sqrt{x}-3=-1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\) (thỏa mãn điều kiện)

- Khi \(\sqrt{x}-3=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=5\Leftrightarrow x=25\) (thỏa mãn điều kiện)

- Khi \(\sqrt{x}-3=-2\Leftrightarrow\sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\) (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy : P nhận giá trị nguyên khi \(x\in\left\{4;16;25\right\}\)