Hình vẽ:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Giả sử \(\hat{BOC}=\alpha\)
Ta có: \(\hat{AOD}=\hat{BOC}\) (hai góc đối đỉnh)
mà \(\hat{BOC}=\alpha\)
nên \(\hat{AOD}=\alpha\)
Ta có: \(\hat{BOC}+\hat{BOA}=180^0\)
=>\(\hat{AOB}=180^0-\hat{BOC}=180^0-\alpha\)
Ta có: \(\hat{AOB}=\hat{COD}\) (hai góc đối đỉnh)
mà \(\hat{AOB}=180^0-\alpha\)
nên \(\hat{COD}=180^0-\alpha\)
Diện tích tam giác OAB là:
\(S_{OAB}=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin AOB=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\left(180^0-\alpha\right)=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tam giác ODC là:
\(S_{OCD}=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin COD=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin\left(180^0-\alpha\right)=\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tam giác OBC là:
\(S_{OBC}=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin BOC=\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin\alpha\)
Diện tích tam giác OAD là:
\(S_{OAD}=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin AOD=\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin\alpha\)
Ta có: \(S_{ABCD}=S_{OAB}+S_{OBC}+S_{OAD}+S_{OCD}\)
\(=\frac12\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\alpha+\frac12\cdot OA\cdot OD\cdot\sin\alpha+\frac12\cdot OB\cdot OC\cdot\sin\alpha+\frac12\cdot OC\cdot OD\cdot\sin\alpha\)
\(=\frac12\cdot OA\cdot\sin\alpha\left(OB+OD\right)+\frac12\cdot OC\cdot\sin\alpha\cdot\left(OB+OD\right)\)
\(=\frac12\cdot BD\cdot\sin\alpha\cdot\left(OA+OC\right)=\frac12\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\alpha\)
