\(A = \frac{8a^2}{4a} + \frac{b}{4a} + b^2 = 2a + \frac{b}{4a} + b^2\)
\(=a+\left(a+\frac{b}{4a}\right)+b^2\ge(1-b)+\left(a+\frac{b}{4a}\right)+b^2\)
áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương a và b/4a, ta được:
\(a + \frac{b}{4a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{b}{4a}} = 2\sqrt{\frac{b}{4}} = \sqrt{b}\)
=>\(A \ge 1 - b + \sqrt{b} + b^2 = b^2 - b + \sqrt{b} + 1\)
Đặt \(t=\sqrt{b}\) (Điều kiện: t>0)
=>\(t^2=b\)
=>\(f(t) = t^4 - t^2 + t + 1\)
=>\(f(t) - \frac{3}{2} = t^4 - t^2 + t + 1 - \frac{3}{2} = t^4 - t^2 + t - \frac{1}{2}\)
\(f\left(t\right)-\frac32=t^4-t^2+t-\frac{1}{2}=\left(t-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\cdot\left(t^2+\sqrt{2}t+1\right)\ge0\quad\forall t>0\)
=>f(t)>=3/2∀t>0
=>A>=3/2
Dấu '=' xảy ra khi a+b=1 và \(a=\frac{b}{4a};t=\frac{1}{\sqrt2}\)
=>\(\begin{cases}a+b=1\\ 4a^2=b\\ b=\frac12\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=\frac12\\ b=\frac12\end{cases}\) (nhận)
