a: Gọi O là trung điểm của AH
=>O là tâm đường tròn đường kính AH
Xét (O) có
ΔAMH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔAMH vuông tại M
=>HM⊥AB tại M
Xét (O) có
ΔANH nội tiếp
AH là đường kính
Do đó: ΔANH vuông tại N
=>HN⊥AC tại N
Xét tứ giác AMHN có \(\hat{AMH}=\hat{ANH}=\hat{MAN}=90^0\)
nên AMHN là hình chữ nhật
b: Xét ΔHAB vuông tại H có HM là đường cao
nên \(AM\cdot AB=AH^2\) (1)
Xét ΔHAC vuông tại H có HN là đường cao
nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)
=>\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại C có
\(\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}\)
DO đó: ΔAMN~ΔACB
=>\(\hat{AMN}=\hat{ACB}\)
mà \(\hat{AMN}+\hat{BMN}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{BMN}+\hat{BCN}=180^0\)
=>BMNC là tứ giác nội tiếp
c: Ta có: AI⊥MN
=>\(\hat{NAI}+\hat{ANM}=90^0\)
=>\(\hat{IAC}+\hat{ABC}=90^0\)
mà \(\hat{ICA}+\hat{ABC}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)
nên \(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)
=>IA=IC
Ta có: \(\hat{IAC}+\hat{IAB}=\hat{BAC}=90^0\)
\(\hat{ICA}+\hat{IBA}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)
mà \(\hat{IAC}=\hat{ICA}\)
nên \(\hat{IAB}=\hat{IBA}\)
=>IA=IB
mà IA=IC
nên IB=IC
=>I là trung điểm của BC
=>AI=BC/2
=>\(\frac{1}{AI^2}=\left(\frac{2}{BC}\right)^2=\frac{4}{BC^2}=\frac{4}{AB^2+AC^2}\)
