a: Xét (O) có
ΔAIB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAIB vuông tại I
=>\(\hat{AIB}=90^0\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>BM⊥AC tại M
Xét (O) có
ΔANB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔANB vuông tại N
=>AN⊥BC tại N
Xét (I) có \(\hat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB
=>\(\hat{ACB}=\frac12\cdot\hat{AIB}=45^0\)
Xét ΔCMB vuông tại M có \(\hat{MCB}=45^0\)
nên ΔMCB vuông cân tại M
Xét ΔNAC vuông tại N có \(\hat{NCA}=45^0\)
nên ΔNCA vuông cân tại N
b: Ta có: ΔNCA vuông cân tại N
=>NA=NC
=>N nằm trên đường trung trực của AC(1)
IA=IC
=>I nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1),(2) suy ra IN là đường trung trực của AC
=>IN⊥AC
=>NI⊥CM
ΔMCB vuông cân tại M
=>MB=MC
=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)
IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(4)
Từ (3),(4) suy ra MI là đường trung trực của BC
=>MI⊥BC
=>MI⊥CN
Xét ΔCMN có
MI,NI là các đường cao
MI cắt NI tại I
Do đó: I là trực tâm của ΔCMN
